Matemática Básica - Problema das "idades"

Prof. Antonio Andrade

A idéia principal destes problemas é bem simples, mas escapa do vestibulando mais nervoso. Devemos nos concentrar em que "o tempo passa igualmente para todo mundo!" Observe a idéia:

Exemplo 1

Um pai tem 32 anos e o seu filho 14.Quando que a idade do pai foi ou será o triplo da do filho?

Observe a chamada "tabela do tempo". Na última coluna observamos que "x" foi somado nas duas idades......é claro, o tempo passa para todos igualmente. Depois de montar a tabela vamos aos cálculos que envolvem os elementos indicados.

	Idades atuais	Passado ou futuro
PAI	32	32+X
FILHO	14	14+X

Cálculo:

(32+x) = 3.(14+x)

32+x = 42+3x

2x=-10 à x = -5

A resposta ­5 indica que esta situação ocorreu há 5 anos. O sinal negativo nos dá a idéia de passado!

Exemplo 2

Há dezoito anos, a idade de uma pessoa era o triplo da outra; em 9 anos a idade da primeira passou a ser 5/4 da segunda. Que idade têm as duas atualmente?

	Idades atuais	Há 18 anos	Daqui a 9 anos
Primeira pessoa	X	X-18	X+9
Segunda pessoa	Y	Y-18	Y+9

Cálculo:

x-18 = 2.(y-18)

x-18 = 2y-36

2y-x = 18

x+9 = 5/4.(y+9)

4x+36 = 5y+45

-5y+4x = 9

Resolvendo o sistema de equações encontramos: x=36 e y=27

Exemplo 3

Tenho o triplo da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, teremos juntos 56 anos. Qual é a minha idade?

* este seria o problema mais intrigante da cápsula! Para facilitar a montagem da "tabela do tempo", indicaremos a idade da pessoa mais velha de x , e a da pessoa mais nova de x-a, onde a seria, é claro, a diferença das idades.

	Idades atuais	Quando eu tinha a idade que tu tens	Quando tu tiveres a idade que tenho
Eu	x	x-a	x+a
Você	x-a	x-2a	x

Cálculo:

Observe que a diferença das idades sempre será "a". As passagens de cor azul e vermelha são interpretações do texto, as outras idades são corrigidas de forma a satisfazer a condição da diferença das idades.

x = 3.(x-2a)

x = 3a

(x+a) + a = 56

2x + a = 56

Resolvendo o sistema temos x=24 e a=8, assim eu tenho 24 anos e você 16.